三角函数

基本概念

ABC\triangle ABC中,ACB=90∠ACB=90°,则有:

sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab,cotA=ba,secA=cb,cscA=ca\sin A=\dfrac{a}{c},\cos A=\dfrac{b}{c},\tan A=\dfrac{a}{b},\cot A=\dfrac{b}{a},\sec A=\dfrac{c}{b},\csc A=\dfrac{c}{a}

三角函数常用值

三角函数基本关系

sin2α+cos2α=1sin^2α+cos^2α=1

tan2α+1=sec2αtan^2α+1=sec^2α

cot2α+1=csc2αcot^2α+1=csc^2α

sinα=tanαcosαsinα=tanα*cosα

cosα=cotαsinαcosα=cotα*sinα

tanα=sinαsecαtanα=sinα*secα

cotα=cosαcscαcotα=cosα*cscα

secα=tanαcscαsecα=tanα*cscα

cscα=secαcotαcscα=secα*cotα

tanαcotα=1tanα*cotα=1

sinαcscα=1sinα*cscα=1

cosαsecα=1cosα*secα=1

和差公式

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβtan(α+β)=\dfrac{tanα+tanβ}{1-tanα·tanβ}

tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβtan(α-β)=\dfrac{tanα-tanβ}{1+tanα·tanβ}

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A2+B2)1/2sin(α+t)A\sin α+B\cosα=(A^2+B^2)^{1/2}\sin(α+t)

其中
sint=B(A2+B2)1/2\sin t=\dfrac{B}{(A^2+B^2)^{1/2}}
cost=A(A2+B2)1/2\cos t=\dfrac{A}{(A^2+B^2)^{1/2}}

倍角与三倍角公式

sin(2α)=2sinαcosα=2tanα+cotαsin(2α)=2sinα·cosα=\dfrac{2}{tanα+cotα}

cos(2α)=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2αcos(2α)=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α

tan(2α)=2tanα1tan2αtan(2α)=\dfrac{2tanα}{1-tan^2α}

sin(3α)=3sinα4sin3αsin(3α)=3sinα-4sin^3α

cos(3α)=4cos3α3cosαcos(3α)=4cos^3α-3cosα

半角公式

sina2=±1cosα2sin\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1-cosα}2}

cosa2=±1+cosα2cos\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1+cosα}2}

tana2=±1cosα1+cosα=sinα1+cosα=1cosαsinαtan\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1-cosα}{1+cosα}}=\dfrac{sinα}{1+cosα}=\dfrac{1-cosα}{sinα}

万能公式

sinα=2tana21+tan2a2sinα=\dfrac{2tan\dfrac{a}{2}}{1+tan^2\dfrac{a}{2}}

cosα=1tan2a21+tan2a2cosα=\dfrac{1-tan^2\dfrac{a}{2}}{1+tan^2\dfrac{a}{2}}

tanα=2tana21tan2a2tanα=\dfrac{2tan\dfrac{a}{2}}{1-tan^2\dfrac{a}{2}}

诱导公式

1.

t=2kπt=2k\pi,其中kk是整数,则有:

sin(t+a)=sina\sin(t+a)=\sin a,且对cos,tan,cot\cos , \tan ,\cot也是如此。

2.

sin(π+a)=sina\sin(\pi+a)=-\sin a,且对cos\cos也是如此。

tan(π+a)=tana\tan(\pi+a)=\tan a,且对cot\cot也是如此。

3.

sina=sina\sin -a=-\sin a,且对$ \tan ,\cot$也是如此。

cosa=cosa\cos -a=\cos a

4.

cos(πa)=cosa\cos(\pi-a)=-\cos a,且对tan,cot\tan ,\cot也是如此。

sin(πa)=sina\sin(\pi-a)=\sin a

5.

sin(π2±a)=cosa\sin(\frac{\pi}{2}±a)=\cos a

cos(π2a)=±sina\cos(\frac{\pi}{2}∓a)=±\sin a

tan(π2a)=±cota\tan(\frac{\pi}{2}∓a)=±\cot a

cot(π2a)=±tana\cot(\frac{\pi}{2}∓a)=±\tan a

6.

sin(3π2±a)=cosa\sin(\frac{3\pi}{2}±a)=-\cos a

cos(3π2±a)=±sina\cos(\frac{3\pi}{2}±a)=±\sin a

tan(3π2a)=±cota\tan(\frac{3\pi}{2}∓a)=±\cot a

cot(3π2a)=±tana\cot(\frac{3\pi}{2}∓a)=±\tan a

积化和差、和差化积公式

sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)2sinα·cosβ=\dfrac{sin(α+β)+sin(α-β)}{2}

cosαsinβ=sin(α+β)sin(αβ)2cosα·sinβ=\dfrac{sin(α+β)-sin(α-β)}{2}

cosαcosβ=cos(α+β)+cos(αβ)2cosα·cosβ=\dfrac{cos(α+β)+cos(α-β)}{2}

sinαsinβ=cos(α+β)cos(αβ)2sinα·sinβ=\dfrac{cos(α+β)-cos(α-β)}{2}

sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2sinα+sinβ=2sin\dfrac{α+β}{2}cos\dfrac{α-β}{2}

sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2sinα-sinβ=2cos\dfrac{α+β}{2}sin\dfrac{α-β}{2}

cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2cosα+cosβ=2cos\dfrac{α+β}{2}cos\dfrac{α-β}{2}

cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2cosα-cosβ=-2sin\dfrac{α+β}{2}sin\dfrac{α-β}{2}(注意!有负号!)

正余弦定理

设有ABC\triangle ABCA,B,CA,B,C对边分别为a,b,ca,b,c

正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R,其中RR是外接圆半径。

余弦定理a2=b2+c22bccosAa^2=b^2+c^2-2bc\cos A

三角形的面积公式

S=12absinCS=\dfrac{1}{2}ab\sin C

以下是补充:

S=12hd=abc4R=a+b+c2r=p(pa)(pb)(pc)S=\dfrac{1}{2}hd=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{a+b+c}{2}r=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},其中:

dd是底,hh是高,r,Rr,R分别是ABC\triangle ABC的内切圆和外接圆半径,p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2}

三角形其他公式

sin(A+B)=sinC\sin(A+B)=\sin C

cos(A+B)=cosC\cos(A+B)=-\cos C

tan(A+B)=tanC\tan(A+B)=-\tan C

sinA+B2=sinπC2=cosC2\sin \dfrac{A+B}{2}=\sin \dfrac{\pi-C}{2}=\cos \dfrac{C}{2}

tanA+B2=cotC2\tan \dfrac{A+B}{2}=\cot \dfrac{C}{2}

三角函数的图像和一些性质

补充:

1.奇偶性

DD关于原点对称,且对于任意的xx属于DD,总有f(x)=f(x)f(-x)=f(x),则称f(x)f(x)为偶函数。如果f(x)=f(x)f(-x)=-f(x),则称f(x)f(x)为奇函数。

2.周期性

若存在常数T!=0T!=0,使得xx取定义域的每一个值时,均有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T),则称f(x)f(x)是周期函数,TT是它的周期。

3.单调性

f(x)f(x)在集合SS中有定义,且SS属于定义域DD。若对于任何两个属于BB的数x1<x2x_1<x_2,均有f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2),则称f(x)f(x)SS上是增函数。

反函数则相反。

三角不等式

1)设ABC,x,y,z\triangle ABC,x,y,z是任意实数。则x2+y2+z2>=2xycosA+2yzcosB+2zxcosCx^2+y^2+z^2>=2xy\cos A+2yz\cos B+2zx\cos C

2)acosx+bsinx<=a2+b2|a\cos x+b\sin x|<=\sqrt{a^2+b^2}

反三角函数的定义

f(x)=sinxf(x)=\sin x,则f1(x)=arcsinxf^{-1}(x)=\arcsin x

同理,arccos,arctan\arccos,\arctan的定义也可以给出。

Stay hungry, stay foolish.