关于不等式

下面是一些中学常用的不等式。

1.绝对值不等式

$|\ |a|-|b|\ |\le |a\pm b|\le |a|+|b|$

$|a_1+a_2+...+a_n|\le |a_1|+|a_2|+...+|a_n|$

2.浓度不等式

若 $b>a>m>0$ ，则

$\begin{cases}\dfrac{a}{b+m}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{b-m}\\\\ \dfrac{a-m}{b-m}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+m}{b+m}\end{cases}$

3.幂平均值不等式

若 $a_1,a_2,...,a_n$ 为 $n$ 个正数，定义 $P(m)=\sqrt[m]{\dfrac{a_1^m+a_2^m+...+a_n^m}{n}}$ ，则对于任意的 $x,y\in \mathbb{Z}$ 满足 $x<y$ ，均有 $P(x)\le P(y)$ ，取到等号当且仅当 $a_1=a_2=...=a_n$ 。

4.平均值不等式

对于上面的幂平均值不等式，取 $x=-1,0,1,2$ （其中 $x=0$ 为 $x\rightarrow0$ ），则有平均值不等式：

若有 $a_1,a_2,...,a_n>0$ ，定义

调和平均值 $H_n=\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}$ ；

几何平均值 $G_n=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$ ;

算术平均值 $A_n=\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ ；

平方平均值 $Q_n=\sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}$ ；

则 $H_n\le G_n\le A_n\le Q_n$ ，取到等号当且仅当 $a_1=a_2=...=a_n$ 。

5.柯西不等式

设 $a_1,a_2,...,a_n$ 和 $b_1,b_2,...,b_n$ 都是实数，则

$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$

当且仅当 $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n\ne 0$ 且 $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}$ 时取到等号。

6.卡尔松不等式

此不等式为柯西不等式的推广，所以也叫作“广义柯西不等式”。

$(x_1+y_1+...)(x_2+y_2+...)...(x_n+y_n+...)\ge [(\prod\limits_{i=1}^n x_i)^{\frac{1}{n}}+(\prod\limits_{i=1}^n y_i)^{\frac{1}{n}}...]^n$

当 $n=2$ 时即为柯西不等式。

7.排序不等式

设实数数列 $a_1\le a_2\le ...\le a_n$ ， $b_1\le b_2\le ...\le b_n$ ，集合 $\{ i_1,i_2,...,i_n\}=\{ 1,2,...,n\}$ ，记

$\begin{cases}A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\\B=a_1b_{i_1}+a_2b_{i_2}+...+a_nb_{i_n}\\C=a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1 \end{cases}$

则 $A\ge B\ge C$ 。

通常，我们将 $A$ 称作“同序和”， $B$ 为“乱序和”， $C$ 为“逆序和”。

8.琴生不等式

设 $f(x)$ 是区间 $D$ 上的严格凸函数，则对于任意的 $x_1,x_2,...,x_n\in D$ ，都有

$f(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})\le \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}$

反过来，当 $f(x)$ 是区间 $D$ 上的严格凹函数，则

$f(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})\ge \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}$

两式取到等号当且仅当 $x_1=x_2=...=x_n$ 。

9.权方和不等式

设 $a_1,a_2,...,a_n$ 和 $b_1,b_2,...,b_n$ 都是正实数，且 $m\in \mathbb{N}^+$ ，则

$(\dfrac{a_1^{m+1}}{b_1^m}+\dfrac{a_2^{m+1}}{b_2^m}+...+\dfrac{a_n^{m+1}}{b_n^m})(b_1+b_2+...+b_n)^m\ge (a_1+a_2+...+a_n)^{m+1}$

等号成立当且仅当 $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}$ 。

10.杨氏不等式

若 $p,q>1$ 且 $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=q$ ，那么对于任意的非负实数 $a,b$ ，均有

$\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\ge ab$

11.赫尔德不等式

设正实数 $p,q$ 满足 $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ ，则对于任意 $2n$ 个正实数 $a_i,b_i(1\le i \le n)$ ，均有

$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\le (a_1^p+a_2^p+...+a_n^p)^{\frac{1}{p}}\times (b_1^q+b_2^q+...+b_n^q)^{\frac{1}{q}}$

12.舒尔不等式

已知实数 $a,b,c$ 和正实数 $r$ ，则

$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\ge 0$

特别地，当 $r=1$ 时，其等价于三元不等式

$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\le abc$

13.伯努利不等式

设实数 $x>-1$ 和实数 $n\ge 0$ ，则

$\begin{cases}(1+x)^n\ge 1+nx&n\ge 1\\(1+x)^n\le 1+nx&0\le n\le 1\end{cases}$

14.s-p-q公式

设 $a_1,a_2,a_3>0$ 。定义 $s=a_1+a_2+a_3$ ， $p=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1$ ， $q=a_1a_2a_3$ ，则

$\begin{cases}ps\ge 9q\\s^2\ge 3p\\s^3+9q\ge 4sp\\p^2\ge 3sq\end{cases}$

15.闵可夫斯基不等式

设 $a_1,a_2,...,a_m,b_1,b_2,...,b_m>0$ ，则：

$\sqrt{(a_1+a_2+...+a_m)^2+(b_1+b_2+...+b_m)^2}\le \sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt{a_m^2+b_m^2}$

16.艾尔多斯—莫迪尔不等式

设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内部或边界上一点， $P$ 到三边的垂线段为 $PD,PE,PF$ 。则

$PA+PB+PC\ge 2(PD+PE+PF)$

取到等号当且仅当 $\triangle ABC$ 为正三角形且 $P$ 为三角形中心时。

17.托勒密不等式

凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积。

设凸四边形 $ABCD$ ，则有 $AC\times BD\le AB\times CD+AD\times BC$

取到等号当且仅当 $ABCD$ 为圆内接四边形。

18.外森比克不等式

若 $\triangle ABC$ 中， $a,b,c$ 为三角形三边长， $S$ 是三角形面积，
则 $a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}S$ 。

取到等号当且仅当 $\triangle ABC$ 为等边三角形。

19.欧拉不等式

设 $\triangle ABC$ 外接圆与内切圆的半径分别为 $R,r$ ，则 $R\ge 2r$ 。