基本概念

设$\triangle ABC$中，$∠ACB=90$°，则有：

$\sin A=\dfrac{a}{c},\cos A=\dfrac{b}{c},\tan A=\dfrac{a}{b},\cot A=\dfrac{b}{a},\sec A=\dfrac{c}{b},\csc A=\dfrac{c}{a}$。

三角函数常用值

三角函数基本关系

$sin^2α+cos^2α=1$

$tan^2α+1=sec^2α$

$cot^2α+1=csc^2α$

$sinα=tanα*cosα$

$cosα=cotα*sinα$

$tanα=sinα*secα$

$cotα=cosα*cscα$

$secα=tanα*cscα$

$cscα=secα*cotα$

$tanα*cotα=1$

$sinα*cscα=1$

$cosα*secα=1$

和差公式

$cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

$cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ$

$sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ$

$tan(α+β)=\dfrac{tanα+tanβ}{1-tanα·tanβ}$

$tan(α-β)=\dfrac{tanα-tanβ}{1+tanα·tanβ}$

辅助角公式

$A\sin α+B\cosα=(A^2+B^2)^{1/2}\sin(α+t)$，

其中
$\sin t=\dfrac{B}{(A^2+B^2)^{1/2}}$，
$\cos t=\dfrac{A}{(A^2+B^2)^{1/2}}$

倍角与三倍角公式

$sin(2α)=2sinα·cosα=\dfrac{2}{tanα+cotα}$

$cos(2α)=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$

$tan(2α)=\dfrac{2tanα}{1-tan^2α}$

$sin(3α)=3sinα-4sin^3α$

$cos(3α)=4cos^3α-3cosα$

半角公式

$sin\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1-cosα}2}$

$cos\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1+cosα}2}$

$tan\dfrac{a}{2}=±\sqrt{\dfrac{1-cosα}{1+cosα}}=\dfrac{sinα}{1+cosα}=\dfrac{1-cosα}{sinα}$

万能公式

$sinα=\dfrac{2tan\dfrac{a}{2}}{1+tan^2\dfrac{a}{2}}$

$cosα=\dfrac{1-tan^2\dfrac{a}{2}}{1+tan^2\dfrac{a}{2}}$

$tanα=\dfrac{2tan\dfrac{a}{2}}{1-tan^2\dfrac{a}{2}}$

诱导公式

1.

设$t=2k\pi$，其中$k$是整数，则有：

$\sin(t+a)=\sin a$，且对$\cos , \tan ,\cot$也是如此。

2.

$\sin(\pi+a)=-\sin a$，且对$\cos$也是如此。

$\tan(\pi+a)=\tan a$，且对$\cot$也是如此。

3.

$\sin -a=-\sin a$，且对$ \tan ,\cot$也是如此。

$\cos -a=\cos a$

4.

$\cos(\pi-a)=-\cos a$，且对$\tan ,\cot$也是如此。

$\sin(\pi-a)=\sin a$

5.

$\sin(\frac{\pi}{2}±a)=\cos a$

$\cos(\frac{\pi}{2}∓a)=±\sin a$

$\tan(\frac{\pi}{2}∓a)=±\cot a$

$\cot(\frac{\pi}{2}∓a)=±\tan a$

6.

$\sin(\frac{3\pi}{2}±a)=-\cos a$

$\cos(\frac{3\pi}{2}±a)=±\sin a$

$\tan(\frac{3\pi}{2}∓a)=±\cot a$

$\cot(\frac{3\pi}{2}∓a)=±\tan a$

积化和差、和差化积公式

$sinα·cosβ=\dfrac{sin(α+β)+sin(α-β)}{2}$

$cosα·sinβ=\dfrac{sin(α+β)-sin(α-β)}{2}$

$cosα·cosβ=\dfrac{cos(α+β)+cos(α-β)}{2}$

$sinα·sinβ=\dfrac{cos(α+β)-cos(α-β)}{2}$

$sinα+sinβ=2sin\dfrac{α+β}{2}cos\dfrac{α-β}{2}$

$sinα-sinβ=2cos\dfrac{α+β}{2}sin\dfrac{α-β}{2}$

$cosα+cosβ=2cos\dfrac{α+β}{2}cos\dfrac{α-β}{2}$

$cosα-cosβ=-2sin\dfrac{α+β}{2}sin\dfrac{α-β}{2}$（注意！有负号！）

正余弦定理

设有$\triangle ABC$，$A,B,C$对边分别为$a,b,c$。

正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$是外接圆半径。

余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

三角形的面积公式

$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$

以下是补充：

$S=\dfrac{1}{2}hd=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{a+b+c}{2}r=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中：

$d$是底，$h$是高，$r,R$分别是$\triangle ABC$的内切圆和外接圆半径，$p=\frac{a+b+c}{2}$。

三角形其他公式

$\sin(A+B)=\sin C$

$\cos(A+B)=-\cos C$

$\tan(A+B)=-\tan C$

$\sin \dfrac{A+B}{2}=\sin \dfrac{\pi-C}{2}=\cos \dfrac{C}{2}$

$\tan \dfrac{A+B}{2}=\cot \dfrac{C}{2}$

三角函数的图像和一些性质

补充：

1.奇偶性

若$D$关于原点对称，且对于任意的$x$属于$D$，总有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。如果$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。

2.周期性

若存在常数$T!=0$，使得$x$取定义域的每一个值时，均有$f(x)=f(x+T)$，则称$f(x)$是周期函数，$T$是它的周期。

3.单调性

设$f(x)$在集合$S$中有定义，且$S$属于定义域$D$。若对于任何两个属于$B$的数$x_1<x_2$，均有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在$S$上是增函数。

反函数则相反。

三角不等式

1）设$\triangle ABC,x,y,z$是任意实数。则$x^2+y^2+z^2>=2xy\cos A+2yz\cos B+2zx\cos C$。

2）$|a\cos x+b\sin x|<=\sqrt{a^2+b^2}$

反三角函数的定义

设$f(x)=\sin x$，则$f^{-1}(x)=\arcsin x$。

同理，$\arccos,\arctan$的定义也可以给出。